11 september 2009 · 8 svar Mehdi Ghezali och Bayes teorem
Mehdi Ghezalis semesterresor har haft en olycklig tendens att sluta med att han grips och anklagas för samröre med terrorister. I juridikens värld ska givetvis envar betraktas som oskyldig tills man blivit dömd i domstol. I statistikens värld börjar däremot sannolikhetskalkylerna röra på sig tidigare än så. Fallet Ghezali är ett fint exempel på intressanta saker man kan använda Bayes teorem till.
Titt som tätt stöter man på situationer där sannolikheter pekar i olika riktning: patienten har lämnat ett positivt provsvar på cancertestet. Men ibland lämnar även friska patienter positiva provsvar. Vad är sannolikheten för att man är frisk? Och om man sedan lämnar ännu ett positivt provsvar? Sannolikhetsberäkningar som denna, liksom sannolikheten för att oskyldiga unga svenskar ska gripas två gånger på raken och anklagas för samröre med terrorister, kan man räkna lite på med Bayes teorem. Så här går det till.
Det vi är nyfikna på är sannolikheten för att Mehdi Ghezali verkligen har samröre med terrorister, givet att han nu har blivit gripen för andra gången. Matematiskt uttryckt kallar vi det för P(X|Y). P betyder sannolikheten för, X betyder Är terrorist och Y betyder Gripen anklagad för terrorverksamhet.
Bayes teorem låter oss räkna ut detta, förutsatt att vi kan höfta till med några ingångsvärden, som vi förstås estimerar generöst och fördomsfritt. Formeln ser ut så här:
P(Y|X)*P(X)
P(X|Y)= ————————————————
P(Y|X)*P(X)+P(Y|X')*P(X')
Resonemanget bakom formeln har jag förklarat tidigare, och hänvisar nyfikna till den introduktionen. Låt oss istället skrida till verket och göra en högst hypotetisk busberäkning på fallet Ghezali.
Vi måste höfta till med ett antal sannolikheter för att kunna börja räkna. Jag föreslår följande siffror, som jag själv tycker är konservativt hållna, men nota bene hypotetiska:
- P(X), sannolikheten att en ung man som på Ghezalis manér sticker iväg på solo-semesterresa i Pakistan verkligen har samröre med terrorister. Jag höftar till med 10 procent, för att ha något att räkna på, och inväntar välgrundade protester i kommentarsfältet.
- P(X'), sannolikheten att en man med samma bakgrund och med samma resvanor inte alls har denna koppling. Denna andel blir följaktligen 90 procent.
- P(Y|X), sannolikheten för att en snubbe som är där i terrorärende blir upplockad av pakistanska säkerhetstjänsten. Jag drar till med 10 procent igen.
- P(Y|X'), sannolikheten för att en helt oskyldig snubbe som är där och turistar råkar bli upplockad av pakistanska säkerhetstjänsten. Jag drar till med 1 procent.
Som sagt, siffrorna är hypotetiska. Själv ser jag siffrorna som konservativa, men alternativa förslag och argument är alltid välkomna. Nåväl, låt oss börja räkna litet.
Först sätter vi in siffrorna för det första gripandet. Vi landar då i följande uträkning:
0,1*0,1
P(X|Y)= ——————————— = 0,526
0,1*0,1+0,01*0,9
Det vill säga, sannolikheten för att den gripne är skyldig, givet det första gripandet, ligger på strax över 50 procent. Som sagt, låt mig påpeka det ännu en gång, helt och hållet givet ingångsvärdena som är rena hypotetiska höftskott - andra kan vilja räkna med både högre och lägre värden.
Men hur ska man då räkna på det andra gripandet av samme person? Nu ser ingångsvärdena annorlunda ut. P(X) är inte längre 0,1, som det var vid första gripandet. När vi räknar på sannolikheten för skuld vid det andra gripandet finns det första gripandet med i sannolikhetens vågskål. Vi räknar inte längre på populationen unga män som sticker iväg till Pakistan, utan har nu att göra med gruppen unga män som sticker till Pakistan för andra gången, sedan de redan suttit i Guantanamo. Konkret innebär det att ingångsvärdet för P(X) nu har stuckit upp til 0,526, som vi såg ovan. Beräkningen vid det andra gripandet blir därför:
0,1*0,526
P(X|Y)= ————————————— = 0,917
0,1*0,526+0,01*0,474
Hm, 91,7 procents sannolikhet... Hoppsan.
Men som Ekot påpekar är anklagelserna mot den gripne svensken oklara.
Hey, allt talar ju för att det här bara är en helt vanlig kille som råkar ha litet otur när han är ute och ser sig om i världen.
Reader Comments (8)
Förvisso konservativa estimat, men de bägge händelserna att bli gripen för samröre med terrorister kan väl knappast se som oberoende - ett resonemang som också grundar sig i Bayes teorem.
"Vem ska vi gripa? Den här killen har blivit gripen för samma sak en gång tidigare. Det måste vara han."
Å andra sidan, gripen två gånger utan att ha lyckats göra ens lite skada. Är inte det mer sannolikt att killen är nånstans mellan sannolikt wannabe-terrorist och dum i huvudet? Dvs. sannolikheten för BVDH närmar sig 1 medan farlig terrrorist är något mindre.
Sen bara för att vara obstinat, efter att ha suttit ett par år i Gitmo, är inte det mer sannolikt att man tror sig mer hemma i Pakistan/Afghanistan än Möllan? Kanske ville han bara tillbaka till kompisar från förr så att säga.
Om vi antar att resonemanget ovan har korrekta värden så är sannolikheten för att alternativförklaringarna -- t.ex. att hans tidigare historik nu gör honom oskyldigt anklagad, eller att han trots ingen egen skuld känner ett oemotståndligt behov av att åka runt halva världen för att återigen hänga i riskzonen -- är sanna c:a 8%, eller en på tolv.
Själv skulle jag vara mindre konservativ vad gäller tilldelning av värden, dvs jag tror sannolikheten att han är komplett oskyldigt anklagad är betydligt mindre än så, men det kan ju finnas andra förklaringar än fundamentalism och terrorism. Hypotetiskt kunde ju Ghezali arbeta som smugglare, t.ex. (Vilket i och för sig kan kombineras med F/T.)
Betänk följande sanna händelse:
Min måg, som är Länsstyrelsens viltvårdare stoppade två nollåttor i fjällvärlden. De åkte skooter och var beväpnade med jaktgevär. Enligt egen utsago hade de lånat bössan för att på semestern skjute någon ripa eller så. Böter och beslagtagande av bössan.
Nästa dag kom han på samma nollåttor när de fiskade i lappvatten på fjället igen.
"inte Ni igen" var hans korta kommentar. Förlust av fiskeutrustning och dryga böter.
En del människor är bara inte bildbara. Hur ställer sig Bayes teorem till det???
Jag tror helt enkelt han är kär i en get där borta. Då gäller inga sannolikheter.
Och hur blir beräkningen när man betänker att han andra gången han blir gripen befinner sig i sällskap med två svenskar som också varit gripna för misstänkt terrorism, om än i Somalia/Kenya/Etiopien?
Du glider mellan att X ska betyda "är terrorist" respektive "har samröre med terrorister". Det är väl nu inte samma sak?
Marcus: Japp, slarvigt där.