Mehdi Ghezalis semesterresor har haft en olycklig tendens att sluta med att han grips och anklagas för samröre med terrorister. I juridikens värld ska givetvis envar betraktas som oskyldig tills man blivit dömd i domstol. I statistikens värld börjar däremot sannolikhetskalkylerna röra på sig tidigare än så. Fallet Ghezali är ett fint exempel på intressanta saker man kan använda Bayes teorem till.

Titt som tätt stöter man på situationer där sannolikheter pekar i olika riktning: patienten har lämnat ett positivt provsvar på cancertestet. Men ibland lämnar även friska patienter positiva provsvar. Vad är sannolikheten för att man är frisk? Och om man sedan lämnar ännu ett positivt provsvar? Sannolikhetsberäkningar som denna, liksom sannolikheten för att oskyldiga unga svenskar ska gripas två gånger på raken och anklagas för samröre med terrorister, kan man räkna lite på med Bayes teorem. Så här går det till.

Det vi är nyfikna på är sannolikheten för att Mehdi Ghezali verkligen har samröre med terrorister, givet att han nu har blivit gripen för andra gången. Matematiskt uttryckt kallar vi det för P(X|Y). P betyder sannolikheten för, X betyder Är terrorist och Y betyder Gripen anklagad för terrorverksamhet.

Bayes teorem låter oss räkna ut detta, förutsatt att vi kan höfta till med några ingångsvärden, som vi förstås estimerar generöst och fördomsfritt. Formeln ser ut så här:

                         P(Y|X)*P(X)
P(X|Y)= ————————————————
                P(Y|X)*P(X)+P(Y|X')*P(X')

Resonemanget bakom formeln har jag förklarat tidigare, och hänvisar nyfikna till den introduktionen. Låt oss istället skrida till verket och göra en högst hypotetisk busberäkning på fallet Ghezali.

Vi måste höfta till med ett antal sannolikheter för att kunna börja räkna. Jag föreslår följande siffror, som jag själv tycker är konservativt hållna, men nota bene hypotetiska:

• P(X), sannolikheten att en ung man som på Ghezalis manér sticker iväg på solo-semesterresa i Pakistan verkligen har samröre med terrorister. Jag höftar till med 10 procent, för att ha något att räkna på, och inväntar välgrundade protester i kommentarsfältet.
• P(X'), sannolikheten att en man med samma bakgrund och med samma resvanor inte alls har denna koppling. Denna andel blir följaktligen 90 procent.
• P(Y|X), sannolikheten för att en snubbe som är där i terrorärende blir upplockad av pakistanska säkerhetstjänsten. Jag drar till med 10 procent igen.
• P(Y|X'), sannolikheten för att en helt oskyldig snubbe som är där och turistar råkar bli upplockad av pakistanska säkerhetstjänsten. Jag drar till med 1 procent.

Som sagt, siffrorna är hypotetiska. Själv ser jag siffrorna som konservativa, men alternativa förslag och argument är alltid välkomna. Nåväl, låt oss börja räkna litet.

Först sätter vi in siffrorna för det första gripandet. Vi landar då i följande uträkning:

                       0,1*0,1
P(X|Y)= ———————————  = 0,526
               0,1*0,1+0,01*0,9

Det vill säga, sannolikheten för att den gripne är skyldig, givet det första gripandet, ligger på strax över 50 procent. Som sagt, låt mig påpeka det ännu en gång, helt och hållet givet ingångsvärdena som är rena hypotetiska höftskott - andra kan vilja räkna med både högre och lägre värden.

Men hur ska man då räkna på det andra gripandet av samme person? Nu ser ingångsvärdena annorlunda ut. P(X) är inte längre 0,1, som det var vid första gripandet. När vi räknar på sannolikheten för skuld vid det andra gripandet finns det första gripandet med i sannolikhetens vågskål. Vi räknar inte längre på populationen unga män som sticker iväg till Pakistan, utan har nu att göra med gruppen unga män som sticker till Pakistan för andra gången, sedan de redan suttit i Guantanamo. Konkret innebär det att ingångsvärdet för P(X) nu har stuckit upp til 0,526, som vi såg ovan. Beräkningen vid det andra gripandet blir därför:

                        0,1*0,526
P(X|Y)= —————————————  = 0,917
               0,1*0,526+0,01*0,474

Hm, 91,7 procents sannolikhet... Hoppsan.

Men som Ekot påpekar är anklagelserna mot den gripne svensken oklara.

Hey, allt talar ju för att det här bara är en helt vanlig kille som råkar ha litet otur när han är ute och ser sig om i världen.